Công thức cộng vận tốc

Một tên lửa chuyển động với tốc độ v → {\displaystyle {\vec {v}}\,} so với Trái Đất và từ Trái Đất bắn lên quả pháo với tốc độ w → {\displaystyle {\vec {w}}\,} đo bởi tên lửa. Vậy vận tốc w → ′ {\displaystyle {\vec {w}}'\,} của đạn pháo đo từ Trái Đất bằng bao nhiêu ?

Theo thuyết động học Gallile các vec tơ vận tốc được cộng và ta có

w → ′ = w → + v → {\displaystyle {\vec {w}}'={\vec {w}}+{\vec {v}}}

Nhưng trong động học tương đối tính các vec tơ vận tốc được cộng như sau:

Giả sử rằng v → = ( v x ; 0 ; 0 ) , {\displaystyle {\vec {v}}=(v_{x};0;0)\,,} ta viết   v = v x {\displaystyle \ v=v_{x}} và w x ′ = w x + v x 1 + ( w x v / c 2 ) {\displaystyle w'_{x}={\frac {w_{x}+v_{x}}{1+(w_{x}v/c^{2})}}} w y ′ = 1 γ w y 1 + ( w x v / c 2 ) {\displaystyle w'_{y}={\frac {1}{\gamma }}{\frac {w_{y}}{1+(w_{x}v/c^{2})}}}

Chứng minh sơ bộ

Trong tên lửa khoảng cách Δx mà quả đạn pháo đi được trong khoảng thời gian Δt là Δ x = w x Δ t , Δ y = w y Δ t {\displaystyle \Delta x=w_{x}\Delta t\,,\Delta y=w_{y}\Delta t} sử dụng phép biến đổi Lorentz { Δ t ′ = γ ( Δ t + ( v / c 2 ) Δ x ) Δ x ′ = γ ( Δ x + v x Δ t ) Δ y ′ = Δ y {\displaystyle {\begin{cases}\Delta t'=\gamma (\Delta t+(v/c^{2})\Delta x)\\\Delta x'=\gamma (\Delta x+v_{x}\Delta t)\\\Delta y'=\Delta y\\\end{cases}}} và thay Δx vào dễ dàng tìm được vận tốc của quả đạn pháo đo trong hệ quy chiếu gắn với Trái Đất: w x ′ = Δ x ′ Δ t ′ = γ ( w x Δ t + v x Δ t ) γ ( Δ t + ( v / c 2 ) w x Δ t ) {\displaystyle w'_{x}={\frac {\Delta x'}{\Delta t'}}={\frac {\gamma (w_{x}\Delta t+v_{x}\Delta t)}{\gamma (\Delta t+(v/c^{2})w_{x}\Delta t)}}} w y ′ = Δ y ′ Δ t ′ = ( w y Δ t ) γ ( Δ t + ( v / c 2 ) w x Δ t ) {\displaystyle w'_{y}={\frac {\Delta y'}{\Delta t'}}={\frac {(w_{y}\Delta t)}{\gamma (\Delta t+(v/c^{2})w_{x}\Delta t)}}} Và thu được công thức cộng vận tốc.

Mối liên hệ này cho thấy định luật cộng vận tốc trong thuyết tương đối hẹp không còn là phép cộng thuần túy hai vận tốc và vận tốc ánh sáng c là lớn nhất dù đo được trong hệ tọa độ bất kỳ nào (dễ dàng xác nhận được rằng khi cộng hai vec tơ vận tốc có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng c thì kết quả thu được vẫn là vận tốc có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng c).

Tuy nhiên, công thức trên áp dụng trong trường hợp hai vận tốc v → {\displaystyle {\vec {v}}\,} và w → {\displaystyle {\vec {w}}\,} song song với nhau. Công thức cộng vận tốc hai vec tơ cho trường hợp song song có thể thực hiện thêm một cách nữa như sau. Có thể biến đổi vec tơ v thành dạng tham số vec tơ vận tốc góc θ như đã nêu ở trên, áp dụng phương pháp rapidity.

Lúc này định luật cộng vận tốc trở thành định luật cộng các tham số vận tốc góc.

Đặt θ = artanh ⁡ ( v / c ) {\displaystyle \theta =\operatorname {artanh} (v/c)} ; α ′ = artanh ⁡ ( w ′ / c ) {\displaystyle \alpha '=\operatorname {artanh} (w'/c)} ; α = artanh ⁡ ( w / c ) {\displaystyle \alpha =\operatorname {artanh} (w/c)} và sử dụng công thức cộng trong các hàm hypebolic tanh ⁡ ( θ + α ′ ) = tanh ⁡ θ + tanh ⁡ α ′ 1 + tanh ⁡ θ tanh ⁡ α ′ = tanh ⁡ α {\displaystyle \tanh(\theta +\alpha ')={\frac {\tanh \theta +\tanh \alpha '}{1+\tanh \theta \,\tanh \alpha '}}=\tanh \alpha } , ta tìm được α = α ′ + θ {\displaystyle \alpha =\alpha '+\theta }

Tham số góc tương ứng với vận tốc c bằng vô cùng vì artanh (x), hàm tang hypebolic của đối số x, tiến đến vô cùng khi x tiến đến 1. Từ đây chúng ta tìm được vận tốc c là vận tốc giới hạn lớn nhất độc lập với hệ tọa độ. Tốc độ này là giới hạn không thể đạt tới bởi hạt có khối lượng, chỉ những hạt có khối lượng bằng zero, như photon, mới có thể chuyển động với tốc độ ánh sáng.

Ví dụ cụ thể

Tưởng tượng một quả đạn pháo được bắn ra với vận tốc w'  = 0,75c trong hệ quy chiếu của tên lửa chuyển động với vận tốc v = 0,75c so với Trái Đất. Vậy vận tốc của quả đạn pháo so với Trái Đất bằng bao nhiêu? Rõ ràng giá trị 1,5c tìm theo công thức cộng vận tốc của Galileo là không đúng bởi vì giá trị nhận được lớn hơn vận tốc ánh sáng trong chân không. Trong trường hợp này ta phải áp dụng công thức cộng vận tốc tương đối tính. Tham số vận tốc góc của tên lửa bằng α ′ = artanh ⁡ ( 0 , 75 ) = 0,973 . {\displaystyle \alpha '=\operatorname {artanh} (0{,}75)=0{,}973\,.} Tương tự tham số vận tốc góc của tên lửa so với Trái Đất bằng θ = 0,973 . {\displaystyle \theta =0{,}973\,.} Theo công thức cộng vận tốc tham số vận tốc góc của quả đạn pháo so với Trái Đất bằng α = 0,973 + 0,973 = 1,946 {\displaystyle \alpha =0{,}973+0{,}973=1{,}946} , hay vận tốc của nó đo theo hệ quy chiếu Trái Đất bằng w = c tanh ⁡ ( 1,946 ) = 0 , 96 c . {\displaystyle w=c\,\tanh(1{,}946)=0{,}96\,c\,.}

Có thể tìm được giá trị w bằng trực tiếp thay vào công thức ở trên với w ’ và v.

Véctơ-4

Trong cơ học Newton, chúng ta nghiên cứu chuyển động của một hạt bằng vec tơ vị trí của nó r → {\displaystyle {\vec {r}}} như là hàm của thời gian t, thời gian này là thời gian tuyệt đối, độc lập với mọi đồng hồ đo nó. Trong thuyết tương đối, chúng ta từ bỏ quan niệm này bằng cách coi chuyển động của một hạt như là một chuỗi các sự kiện P {\displaystyle {\mathcal {P}}} nối tiếp nhau, đường cong miêu tả sự kiện này trong không gian bốn chiều (ba chiều không gian, một chiều thời gian) được gọi là "tuyến thế giới".

Giống như trong cơ học cổ điển chúng ta định nghĩa vận tốc của một hạt bằng cách lấy đạo hàm

v = d r → / d t {\displaystyle v=d{\vec {r}}/dt}

của vị trí theo thời gian, và tương tự trong cơ học tương đối tính chúng ta định nghĩa vec tơ vận tốc bốn chiều (hay vận tốc-4)

u = d P / d τ {\displaystyle \mathbf {u} =d{\mathcal {P}}/d\tau }

với τ {\displaystyle \tau \,} là thời gian riêng của hạt.

Bằng cách viết các thành phần của vec tơ vận tốc-4 này theo một hệ quy chiếu ta có được

u = ( c d t d τ , d x d τ , d y d τ , d z d τ ) {\displaystyle \mathbf {u} =\left(c{\frac {dt}{d\tau }},{\frac {dx}{d\tau }},{\frac {dy}{d\tau }},{\frac {dz}{d\tau }}\right)}

trong đó xuất hiện hệ số c cho phép đồng nhất giữa các tọa độ.

Do tính bất biến của bình phương khoảng không-thời gian sau mỗi lần thay đổi hệ tọa độ quy chiếu, bình phương của chuẩn vec tơ-bốn cũng là một đại lượng bất biến dưới sự thay đổi hệ quy chiếu. Và trong hệ quy chiếu gắn với hạt (theo hướng tiếp tuyến với tuyến thế giới và ở thời điểm tức thì), chỉ có thành phần tọa độ thời gian của vận tốc-bốn của hạt là khác 0 và bằng c (bởi vì thời gian trong hệ quy chiếu này bằng thời gian riêng của chính hạt và vận tốc theo không gian của nó bằng 0): vận tốc-bốn có các thành phần (c, 0, 0, 0). Do đó trong bất kỳ hệ quy chiếu Galile chúng ta có liên hệ

bình phương của chuẩn u {\displaystyle \mathbf {u} } = (phần tọa độ thời gian của u {\displaystyle \mathbf {u} } )2 -  (phần tọa độ không gian của u {\displaystyle \mathbf {u} } )2 = c2

Dựa trên bất biến của chuẩn này cho phép coi vận tốc-bốn của một hạt là một đại lượng độc lập với hệ tọa độ.